Enigme: un calcul d’aire

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4 réponses à “Enigme: un calcul d’aire

  1. Audrey

    Bonjour, je pense avoir trouvé la réponse, je trouve \cfrac{\sqrt{2}}{2} ainsi cela correspond à la réponse B. Voici mon raisonnement:
    Je calcul l’aire d’un des carrés qui est de c*c= 1*1=1.
    L’aire d’un grand triangle rectangle isocèle est la moitié de celle du carré soit 0.5
    Je cherche la longueur de la diagonale, autrement dit l’hypothénuse notée « y »commune aux deux triangles rectangles isocèles formant un carré. Pour cela j’applique le théorème de Pythagore. On a donc: y^2=c^2+c^2
    y^2=1^2+1^2=2
    y=\sqrt{2}
    On peut observer qu’un petit triangle rectangle isocèle se dessine, ici il est délimité avec des pointillés. Je désire trouver la longueur de ce côté en pointillés que je nomme « x ». Ainsi y-c=x
    \sqrt{2}-1=x.
    L’aire (A) du petit triangle rectangle isocèle est donc: \cfrac{x^2}{2}.
    \cfrac{(\sqrt{2}-1)^2}{2}=A,
    \cfrac{3-2 \sqrt{2}}{2}=A.
    Ainsi, connaissant l’aire du carré, du grand triangle rectangle isocèle, et du petit triangle rectangle, on a :
    Aire commune au deux carrés= aire carré- (aire pt triangle+aire gd triangle)
    =1-(\cfrac{3-2 \sqrt{2}}{2} +\cfrac{1}{2})=\cfrac{\sqrt{2}}{2}
    Ainsi l’aire commune est égale, je pense, à \cfrac{\sqrt{2}}{2}.
    Bonne soirée et à demain!

    • Dussau

      Bonsoir Audrey,

      Tout d’abord, j’ai un peu réécrit les formules de votre réponse en utilisant les commandes Latex (c’est ce que j’utilise pour taper les cours et les contrôles, suivre ce lien pour plus de détail http://fr.wikipedia.org/wiki/LaTeX )

      Concernant l’énigme, vous avez presque trouvé le bon raisonnement : il y a une petite erreur à la fin de vos calculs ; la réponse n’est pas \cfrac{\sqrt{2}}{2}.
      Il faut juste corriger cette erreur pour y arriver.

      A demain!

      • Audrey

        Je crois avoir compris mon erreur de calcul à la fin. Je pense que donc l’aire commune est bien égale à :
        1-((3-2 racine de 2)/2+1/2)=1-((3-2 racine de 2+1)/2)
        =1-((4-2 racine de 2)/2)
        =1/2-(4-2 racine de 2/2)
        =(-2-2racine de 2)/2
        =-2(1+racine de 2)/2 on simplifie et cela donne :-1+racine de 2, ce qui correspond à la réponse A. Je ne suis pas sûre du tout de ma réponse mais je vous la propose. Bonsoir.

      • Dussau

        Maintenant, ce raisonnement est correct ; c’est bien la réponse A.
        Cette question figurait à la fin du sujet du Kangourou 2006.

        Par élimination, on pouvait trouver assez rapidement la bonne réponse:
        en déplaçant un triangle de la zone commune on peut estimer que l’aire est légèrement inférieure à 0,5.
        Comme \sqrt{2} \approx 1,4, on en déduit que seule la réponse A est proche de 0,5.

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